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Calcul du centre de masse - avec des exemples
Le calcul du centre de masse est une étape importante dans de nombreuses tâches d’ingénierie mécanique et dans la conception des machines et des composants. Le centre de masse indique l’endroit où le poids d’un corps est concentré et permet ainsi de déterminer les forces et les moments dans le système. Cet article présente les bases du calcul du centre de masse et fournit des exemples concrets.
Qu’est ce que le centre de masse ?
Le centre de masse ou le centre de gravité est l’endroit où le poids total d’un corps est concentré. Il est déterminé par l’emplacement de toutes les masses individuelles dans le système et par leurs distances jusqu’au point d’origine.
Le centre de masse est le « point d’attaque » de la gravité. L’objet se comporte comme une masse ponctuelle dans le champ gravitationnel.
Important : le centre de la masse peut également se trouver à l’extérieur du corps. Par exemple, sur les coques hémisphériques. Un couple est inefficace lorsqu’il est exercé au centre de gravité.
Pour les corps homogènes (c.-à-d. densité égale partout), le centre de masse correspond au centre de gravité géométrique (centre de volume) ; ces corps sont des masses individuelles dites triviales. Le centre de gravité des corps homogènes est donc le plus facile à déterminer.
Le contraire des corps homogènes est ce que l’on appelle des corps inhomogènes ; ils possèdent des densités différentes dans les sections du corps. Ils ne peuvent pas être considérés comme des masses uniques. Ces corps doivent être divisés en masses individuelles appropriées, calculées individuellement et finalement rapprochées dans l’ensemble du système.
Le calcul du centre de masse est important dans de nombreuses applications d’ingénierie.
Pour, par exemple, la conception d’une machine et de ses composants : ici, le centre de gravité des composants doit être sélectionné pour que la machine globale soit stable et sûre et que ses composants soient correctement « équilibrés ».
Méthodes de calcul du centre de masse
Il existe différentes méthodes pour déterminer le centre de masse en fonction de la géométrie et de la manière dont la masse (densités) est distribuée dans le système.
- Sur les corps homogènes, le centre de volume peut être sélectionné comme centre de gravité, à condition que toutes les densités soient réparties uniformément.
- Pour les corps inhomogènes, le centre de masse doit être déterminé en tenant compte de toutes les densités de points.
En général, le centre de gravité peut être calculé comme la somme de toutes les sous-masses, multipliée par leurs distances respectives à l’origine, divisée par la masse totale. Le corps est divisé en un nombre limité de sous-quantités.
Les programmes de CAO modernes ou FEM (méthode à éléments finis) offrent des méthodes de calcul pour le centre de masse dans leurs caractéristiques standard.
Centre de masse et centre de volume
Le centre du volume ne tient pas compte de la masse ou des densités du corps. Le centre de volume est donc un cas particulier du centre de masse, étant donné la répartition uniforme de la densité dans l’objet.
Le calcul du centre de masse peut être simplifié pour les corps homogènes.
Effort et utilité des calculs
Une division appropriée des masses individuelles peut être particulièrement utile, en particulier pour les densités non réparties de manière uniforme. Ces problèmes peuvent être résolus de manière informatique et expérimentale. La précision du résultat dépend de la profondeur de calcul réalisable ou de la précision de mesure. Les résultats ne peuvent être qu’approximatifs : l’effort et les avantages doivent donc être évalués.
Centre de masse pour corps homogènes
Pour les corps homogènes tels qu’un cuboïde ou un cylindre, le centre de gravité peut être facilement déterminé par des considérations géométriques.
Dans ce cas, les symétries peuvent être utilisées pour simplifier le problème.
Le centre de masse correspond au centre de gravité géométrique et se calcule facilement. Dans cet exemple, le centre de masse est simultanément le centre de la zone circulaire et de la zone projetée du rectangle.
Centre de masse pour les objets de forme irrégulière ou les objets inhomogènes
Pour les objets de forme irrégulière, il faut tenir compte de chaque point (densité de point) individuellement et sa contribution à la masse totale doit être calculée.
Cette approche est également appelée intégration.
Polyèdre avec densité répartie uniformément
Le centre de gravité géométrique du corps est calculé en divisant le corps en corps partiels appropriés. Les centres de gravité de ces corps partiels sont calculés puis pondérés sur la proportion de la surface ou du volume.
Le centre de gravité géométrique est le centre de masse.
Polyèdre de densité inégale
Le centre de gravité géométrique du corps avec une densité inégale est identique au centre de gravité géométrique du corps avec une densité répartie uniformément.
Le centre de gravité géométrique ne se trouve pas au centre de la masse.
Le corps doit être décomposé en corps partiels adaptés et leurs centres de gravité individuels doivent être déterminés en fonction de la forme et de la densité inégalement répartie.
Le centre de masse est calculé à partir des corps partiels en tenant compte du volume corporel et des masses corporelles
(x_s,y_s,z_s) = \frac{1}{M}\sum_i(x_{si}, y_{si}, z_{si})\cdot m_i
- M - Masse totale
- mi - Masse partielle
- (xsi, ysi, zsi) - coordonnées du centre de gravité du corps partiel 1 dans le système de coordonnées spatialement fixe (x, y, z)
- (xs, ys, zs) - coordonnées du centre de gravité de l’objet entier dans le système de coordonnées spatialement fixe (x, y, z)
Formule explicite pour le centre de masse
Si l’on effectue des découpages progressivement plus fins, les volumes partiels ou les masses partielles « approchent zéro ». Par conséquent, la formule d’approximation ci-dessus est convertie en intégrale.
Le centre de gravité peut donc être déterminé avec une très grande précision :
x_s=\frac{1}{M}\int \int_V \int \rho (x,y,z)xdV
y_s=\frac{1}{M}\int \int_V \int \rho (x,y,z)ydV
z_s=\frac{1}{M}\int \int_V \int \rho (x,y,z)zdV
- M - Masse totale
- p(x, y, z) - Densité locale du matériau
- V - Volume du composant
Centre de masse pour les systèmes composés
Les systèmes composés se composent de plusieurs corps individuels interconnectés ayant chacun leur propre centre de gravité.
Pour trouver le centre de gravité commun de tous les sous-objets, chacun de ces points doit être pondéré avec sa masse correspondante.
Exemple de calcul : Centre de gravité combiné de 2 sous-systèmes
Un système composé de deux sous-systèmes distincts est combiné en un centre de gravité combiné.
x_s=\frac{x_{s1}\times m_1+x_{s2}\times m_2}{m_1+m_2}
y_s=\frac{y_{s1}\times m_1+y_{s2}\times m_2}{m_1+m_2}
z_s=\frac{z_{s1}\times m_1+z_{s2}\times m_2}{m_1+m_2}
- m1 - Masse du corps partiel 1
- (xs1, ys1, zs1) - coordonnées du centre de gravité du corps partiel 1 dans le système de coordonnées spatialement fixe (x, y, z)
- m2 - Masse du corps partiel 2
- (xs2, ys2, zs2) - coordonnées du centre de gravité du corps partiel 1 dans le système de coordonnées spatialement fixe (x, y, z)
- (xs, ys, zs) - coordonnées du centre de gravité de l’objet entier dans le système de coordonnées spatialement fixe (x, y, z)
Détermination expérimentale du centre de masse
Le centre de masse peut également être déterminé expérimentalement. Les méthodes de mesure expérimentales présentent certains avantages par rapport aux calculs purement théoriques :
- Elles sont indépendants du modèle de matériau,
- elles prennent automatiquement en compte toutes les sources d’erreur,
- elles fournissent une mesure directe qui ne dépend pas des hypothèses ou des estimations.
Méthode d’oscillation
La méthode d’oscillation repose sur le principe de l’oscillation harmonique. Cela implique de suspendre un objet sur un fil fin et de le faire osciller. La vitesse angulaire peut être calculée en mesurant la durée de la période. La vitesse angulaire peut ensuite être utilisée pour déterminer la distance entre le point de suspension et le centre de masse.
| Avantages : |
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| Inconvénients : |
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Méthode de la balance
Cette méthode place l’objet à examiner sur une balance à plateforme et mesure son poids. La même procédure est ensuite effectuée avec un deuxième poids pour mesurer la distance entre les deux points. Multiplier la force de pondération par la distance donne une équation de moment pour déterminer le centre de masse.
| Avantages : |
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| Inconvénients : |
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Méthode d’inclinaison
La méthode d’inclinaison est basée sur le principe de stabilité statique. L’objet à examiner est placé sur une surface plane et testé pour l’inclinaison en déplaçant les poids vers différentes positions. Le centre de masse peut également être déterminé en déterminant la ligne centrale gravitationnelle.
| Avantages : |
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| Inconvénients : |
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