Partager l'article :

Calculer différentes unités d’engrenages - Les formules les plus importantes pour les entraînements par engrenages

Dans la conception des engrenages, il est très important que les roues d’engrenage impliquées s’engagent correctement et que l’usure soit réduite, par conséquent, divers calculs de base doivent être effectués. Des termes tels que module, diamètre de pas et nombre de dents jouent un rôle majeur ici. Dans cet article, nous traitons des aspects les plus importants du calcul des engrenages et des éléments à prendre en compte lors du calcul des unités d’engrenage.

Paramètres importants pour les calculs relatifs aux engrenages

Il faut observer de nombreux paramètres et déterminer les dimensions lors de la construction de l’engrenage afin d’adapter la géométrie de l’engrenage idéalement aux exigences de l’application ultérieure.

Les paramètres de géométrie des engrenages sont les suivants :

Espacement des essieux a
Rapport de démultiplication i
Module m
Pas
Nombre de dents e
Diamètre de pas d_w
Diamètre racine d_f
Diamètre de pointe d_a

Le module des roues dentées

Le module est une dimension utilisée pour le calcul de l’engrenage, qui est spécifiée en millimètres et normalisée selon DIN 780.

Le module mesure la taille des dents des roues dentées.

Lors de la conception d’appariements de roues dentées, il faut veiller à utiliser uniquement des roues dentées ayant le même module. Le module est calculé comme suit :

m=\frac{ p }{ \pi } = \frac{ d_{w} }{ z } = \frac{ d_{a} }{ (z+2) }

3 diamètres de roues dentées différents

Lors du calcul de la roue dentée, trois variables importantes sont pertinentes pour le diamètre.

Le diamètre de la pointe de la dent d_a

Le diamètre du cercle de la pointe d_a indique le diamètre qui longe les pointes des dents d’une roue dentée. Il résulte du diamètre du pas et de la hauteur de la tête.

d_{a}= d_{w} + 2 \times m

d_{a}= m \times (z+2)

Le diamètre de la racine d_f

Le diamètre de la racine d_f indique le diamètre qui longe la racine de la dent d’une roue dentée. Il résulte du diamètre du pas et de la hauteur de la racine.

d_{ f } = d - 2h_{f}

Le diamètre de pas d_w

Le diamètre de pas d_w décrit une ligne imaginaire qui s’étend entre le diamètre de la pointe et le diamètre de la racine. Le diamètre de pas est une dimension précisément définie d’une roue dentée et peut être utilisé pour déterminer l’espacement axial.

d_{ w } = m \times z

Espacement axial des roues dentées dans une unité d’engrenage

L’espacement axial a définit la distance entre les deux points centraux des deux roues dentées et résulte des diamètres de pas des deux roues dentées (d_f,1, d_f,2).

a = \frac {d_{f,1} + d_{f,2}} {2}

a = \frac {z_{1} + z_{2}} {2} \times m

Espacement des dents des roues dentées dans les unités d’engrenage

Le nombre de dents z indique le nombre de dents individuelles sur la surface maillée de la roue dentée. Il est dérivé du diamètre de pas et du module.

z = \frac {d_{a} + 2m} { m }

Calcul des unités d’engrenage

La combinaison de deux roues dentées ou plus est la forme la plus simple d’une unité d’engrenage. Les paramètres les plus importants de tous les types d’unités d’engrenage sont le rapport d’engrenage et l’efficacité.

Rapport d’engrenage des unités d’engrenage

L’une des principales caractéristiques des unités d’engrenage est de convertir la vitesse d’entrée (entraînement) en vitesse de sortie (sortie). Cette propriété est appelée rapport de vitesse et, selon le dimensionnement des roues dentées, elle peut être supérieure à la vitesse d’entrée (rapport de vitesse) ou inférieure à la vitesse d’entrée (rapport de réduction).

Le rapport d’engrenage i peut être exprimé comme le rapport de la vitesse d’entraînement n_an sur la vitesse de sortie n_ab.

i = \frac {n_{an} } { n_{ab} }

Sinon, le rapport d’engrenage peut être déterminé en utilisant le nombre de dents (z_an, z_ab) ou le diamètre de pas (d_an, d_ab).

i = \frac {z_{ab} } { z_{an} } = \frac {d_{ab} } { d_{an} }

Dans le cas d’unités d’engrenages à plusieurs étages, les rapports d’engrenage des étages individuels sont multipliés les uns par les autres et aboutissent finalement à un rapport d’engrenage global de i_ges pour les étages 1, 2, n.

i_{ges} = \frac {n_{an, 1} } { n_{ab, 1} } \times \frac {n_{an, 2} } { n_{ab, 2} } \times \frac {n_{an, n} } { n_{ab, n} } = {i_{1} } \times { i_{2} } \times i_{n}

Calculer l’efficacité

L’efficacité η d’une unité d’engrenage désigne le rapport entre la puissance utilisable P_Nutz et la puissance fournie P_Zu. La différence entre la puissance utilisable et la puissance fournie est principalement perdue sous forme d’énergie thermique, laquelle est causée par le frottement entre les matériaux des composants de l’unité d’engrenage. Plus le frottement de glissement entre les roues, les roulements et les essieux est élevée, plus l’efficacité de l’unité d’engrenage est faible.

\eta = \frac {P_{Nutz} } { P_{Zu} }

Dans le cas d’unités d’engrenages à plusieurs étages, les efficacités des étages individuels sont multipliées les unes par les autres et aboutissent finalement à une efficacité globale de η_ges pour les étages 1, 2, n.

\eta_{ges} = \frac {P_{Nutz, 1} } { P_{Zu, 1} } \times \frac {P_{Nutz, 2} } { P_{Zu, 2} } \times \frac {P_{Nutz, n} } { P_{Zu, n} } = {\eta_{1} } \times { \eta_{2} } \times \eta_{n}

Exemple de calcul simple pour les entraînements à engrenages

Un scénario courant d’utilisation d’entraînements à engrenages est une distance donnée entre deux arbres sur laquelle une force doit être transmise dans un rapport de vitesse donné.

L’exemple de calcul suivant, avec des valeurs pratiques, repose sur un dimensionnement simplifié. L’objectif est le calcul des paramètres de conception pour la roue motrice et la roue de sortie.

En pratique, les valeurs exactes ne sont pas réalistes ; par conséquent, les paramètres sont indiqués avec une tolérance de 5 %.
Toutes les unités de longueur sont exprimées en millimètres [mm].
Le calcul des entraînements à engrenages dépend de l’expérience des applications pratiques. Suivez les conseils lors de la conception de l’unité d’engrenage.
La force est généralement transférée de la grande roue dentée (roue d’entraînement) à la roue dentée plus petite (roue de sortie).
L’indice 1 correspond à la grande roue motrice (par ex. d_w,1).
L’indice 2 correspond à la roue de sortie plus petite (par ex. d_w,2).

On obtient ce qui suit :

Le rapport de vitesse i = 1,9 ... 2,1- la transmission souhaitée est de 2.
L’espacement axial a = 33,25 mm ... 36,75 mm - l’espacement axial réel est de 35 mm.
Le nombre minimum de dents de la roue dentée plus petite z_2, min = 11.
Constante du dégagement de la pointe k = 1,25.

Conseil : Toujours fournir au moins 11 dents. Sinon, une usure va se produire parce que les roues dentées ne s’engagent pas exactement l’une avec l’autre.

Les paramètres de conception nécessaires sont recherchés :

Espacement axial réel.
Les diamètres du pas, de la racine et de la pointe.

Tout d’abord, on calcule le nombre de dents de l’entraînement.

Le nombre de dents spécifié z₂ de la sortie est utilisé à cet effet. En raison de la tolérance, nous utilisons la limite inférieure de la transmission une fois et la limite supérieure une fois.

D’abord la limite inférieure :

z_{1,min} = 11 \times 1.9

z_{1,min} = 20.9

Puis la limite supérieure :

z_{1,max} = 11 \times 2.1

z_{1,max} = 23.1

Le nombre de dents est toujours en nombres entiers et est arrondi à la hausse ou à la baisse en conséquence. De plus, nous sélectionnons toujours un nombre impair de dents.

Conseil : Un nombre premier de dents est particulièrement avantageux, ceci améliore la durabilité de l’unité d’engrenage.

Nous sélectionnons donc l’appariement du nombre de dents z₁ = 23 et z₂ = 11.

Nous calculons le module à partir du nombre de dents et de l’espacement axial

À cette fin, nous modifions la formule de l’espacement axial et utilisons les valeurs pour z₁ = 23 et z₂ = 11, ainsi que l’espacement axial réel a = 35 mm :

m = \frac {2 \times 35 \mathrm{mm}}{23 + 11}

m = 2.06 \mathrm{mm}

Nous sélectionnons le module avec 2 mm.

Le rapport d’engrenage réel et l’espacement axial doivent être déterminés

En raison de l’arrondi à la hausse ou à la baisse du nombre de dents z₁ = 23 et z₂ = 11, il faut s’assurer que le rapport d’engrenage réel et l’espacement axial sont toujours dans les tolérances spécifiées.

Le rapport de vitesse réel :

i_{tat} = \frac{23}{11}

i_{tat} = 2.09

Le rapport de vitesse réel est conforme à la tolérance. Ce calcul peut être poursuivi.

Espacement axial réel :

a = \frac {23 + 11} {2} \times 2 \mathrm{mm}

a = 34 \mathrm{mm}

L’espacement axial réel est également conforme à la tolérance.

Désormais, les paramètres de conception des roues dentées peuvent être calculés avec les formules connues

Les diamètres des racines et les diamètres des pointes dépendent des diamètres de pas. Par conséquent, les diamètres de pas respectifs sont calculés en premier.

Le diamètre de pas de la roue motrice avec le module m = 2 mm et z₁ = 23 :

d_{ w,1 } = 2 \mathrm{mm} \times 23

d_{ w,1 } = 46 \mathrm{mm}

Le diamètre de pas de la roue de sortie avec le module m = 2 mm et z₂ = 11 :

d_{ w,2 } = 2 \mathrm{mm} \times 11

d_{ w,2 }= 22 \mathrm{mm}

Le diamètre de racine de la roue d’entrée avec le dégagement de pointe k = 1,25 :

d_{ f,1 } = 46 \mathrm{mm} - 2 \times 1.25 \times 2 \mathrm{mm}

d_{ f,1 } = 41 \mathrm{mm}

Le diamètre de racine de la roue de sortie avec le dégagement de pointe k = 1,25 :

d_{ f ,2} = 22 \mathrm{mm} - 2 \times 1.25 \times 2 \mathrm{mm}

d_{ f ,2} = 17 \mathrm{mm}

Diamètre de la pointe de la roue d’entrée :

d_{a,1} = 2 \mathrm{mm} \times (23 + 2)

d_{a,1} = 50 \mathrm{mm}

Diamètre de la pointe de la roue de sortie :

d_{a,2} = 2 \mathrm{mm} \times (11 + 2)

d_{a,2} = 26 \mathrm{mm}

Les roues dentées entièrement conçues